作者 | 慕容玖
來源 | 試題工坊
本周末, 上海多區發布了告居民書, 將在26-28日針對部分街道或全區人員進行一次抗原篩查檢測. [1]
而在10天前的3月15日, 在國務院聯防聯控機制召開的新聞發布會上, 國家衛健委臨床檢驗中心副主任李金明表示抗原檢測應該用在高風險、高流行率的聚集性感染的人群檢測. 他解釋道, 到流行率低于百萬分之一的千萬人口城市做篩查的話, 會得到30萬個陽性, 但這30萬個陽性里只有9個是真的, 也就是說絕大部分是假陽性.[2]
那么這個抗原檢測到底靠不靠譜？
如果我被抗原檢測出陽性, 我實際并未被感染的概率有多大？
如果我的鄰居抗原檢測陰性, 實際他是無癥狀感染者的概率又有多大？
我們將人群分為感染和未感染兩類, 通過抗原檢測, 分別有檢測陽性和檢測陰性兩種結果.
記事件為“抗原測試結果陽性”, 事件B為“已被感染”. 則對立事件為“抗原測試結果陰性”, 事件為“未被感染”.
為檢測感染率, 為真實感染率.
條件概率是指在事件發生的條件下事件發生的概率.
是指事件同時發生的概率.
抗原檢測出陽性, 實際并未被感染的概率可表示為, 我們稱為假陽性.
抗原檢測陰性, 實際是無癥狀感染的概率表示為我們稱為假陰性.
根據條件概率公式： 即
同理有,
于是
將其改寫為
這就是著名的貝葉斯公式[3].
而事件
根據貝葉斯公式有
,
此為全概率公式.
是在感染人群中檢測出陽性人數占比, 稱為試劑的敏感度
是在未感染人群中檢測出陰性人數占比, 稱為試劑的特異度.
根據貝葉斯公式, 假陽性的概率
假陰性的概率
其中
根據官方數據[2], 已知試劑的敏感度試劑的特異度.
根據不同的真實感染率, 代入上述公式, 計算可得如下結果：
所以在真實感染率為時, 抗原檢測的假陽性是相當高的, 假設城市人口數為1000萬, 那么檢測出陽性數量為
其中真陽性數量為:
也就是大約30萬陽性人群中, 只有9人是真陽.
總結一下, 對于敏感度為特異度為的抗原試劑,
低感染率（以內）的人群中確實會檢查出很多假陽性, 所以如果你不小心被檢測出來陽性, 莫恐慌, 很有可能是假陽, 待在家中別亂動, 等待閉環做核酸.
低感染率（以內）的人群中假陰性數據很小, 說明漏檢幾乎可以不考慮. 所以如果你的鄰居查出來是陰性, 你們是可以愉快的交流的(口罩莫摘).
在低感染率（以內）人群中做抗原檢測的意義是一次篩查, 只要是陰性的, 基本上都是未感染的. 與其全員核酸檢測, 耗時耗力, 不如先進行一次全員自助抗原篩查, 在檢出的陽性人員中, 再進行核酸檢測.
高感染率達 的人群中, 抗原檢測的假陰性為 , 說明漏檢率不超過. 而假陽性的概率卻明顯降低只有. 因此抗原檢測更應該用在高風險高流行率的聚集性感染的人群中.
低感染率（以內）的人群中確實會檢查出很多假陽性, 所以如果你不小心被檢測出來陽性, 莫恐慌, 很有可能是假陽, 待在家中別亂動, 等待閉環做核酸.
低感染率（以內）的人群中假陰性數據很小, 說明漏檢幾乎可以不考慮. 所以如果你的鄰居查出來是陰性, 你們是可以愉快的交流的(口罩莫摘).
在低感染率（以內）人群中做抗原檢測的意義是一次篩查, 只要是陰性的, 基本上都是未感染的. 與其全員核酸檢測, 耗時耗力, 不如先進行一次全員自助抗原篩查, 在檢出的陽性人員中, 再進行核酸檢測.
高感染率達 的人群中, 抗原檢測的假陰性為 , 說明漏檢率不超過. 而假陽性的概率卻明顯降低只有. 因此抗原檢測更應該用在高風險高流行率的聚集性感染的人群中.
#創作團隊：
撰文：慕容玖
編輯：橘子小仙
#參考文獻：
[1]打贏這場仗, 這個周末至關重要！上海今起新一輪檢測！核酸、抗原檢測全覆蓋
https://mp.weixin.qq.com/s/n36Zw8ccT0oiRMBNaZzVTg
[2]國家衛健委：一般人群不要隨意做抗原檢測
http://www.gov.cn/fuwu/2022-03/15/content_5679226.htm
[3]Dimitri P.Bertsekas, John N.Tsitsiklis 著. Introduction to Probability. 概率導論[M]. 人民郵電出版社. p27-p33.
互動答題
記事件為“抗原測試結果陽性”, 事件B為“已被感染”.是在感染人群中檢測出陽性人數占比, 稱為試劑的敏感度.是在未感染人群中檢測出陰性人數占比, 稱為試劑的特異度.
某地區爆發疫情, 根據專家預測, 真實感染率為, 該地進行抗原篩查的試劑敏感度試劑的特異度. 問測出假陽性的概率是_________.
(A)
(B)
(C)
(D)
特約供稿
慕容玖
橘子數學社區核心成員
本挑戰發布于橘子數學趣題【高中數學】頻道.
頻道簡介
高中數學頻道：高中數學趣題.
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